Question

（2013•宜賓一模）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，短軸長為4

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）P（2，n），Q（2，-n）是橢圓C上兩個定點，A、B是橢圓C上位于直線PQ兩側的動點．
①若直線AB的斜率為

1

2

，求四邊形APBQ面積的最大值；
②當A、B兩點在橢圓上運動，且滿足∠APQ=∠BPQ時，直線AB的斜率是否為定值，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓中的相關定義和方程，求解a，b．
（Ⅱ）設直線方程，將直線方程和橢圓方程聯立，通過消元，轉化為一元二次方程去解決．

解答：解：（Ⅰ）設C方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由已知b=2

3

，離心率e=

c

a

=

1

2

，a2=b2+c2 …（3分）
得a=4，所以，橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1…（4分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得點P、Q的坐標為P（2，3）．Q（2，-3），則|PQ|=6，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=

1

2

x+t，代入

x2

16

+

y2

12

=1，
得x²+tx+t²-12=0 由△＞0，解得-4＜t＜4，由根與系數的關系得

x1+x2=-t x1x2=t2-12

，
四邊形APBQ的面積S=

1

2

×6×|x1-x2|=3

48-3t2

…（6分）
故，當t=0時，Smax?=12

3

…（7分）
②∠APQ=∠BPQ時，PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，
則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2）與

x2

16

+

y2

12

=1，
聯立解得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，x1+x2=

8(2k-3)k

3+4k2

．…（9分）
同理PB的直線方程y-3=-k（x-2），可得x1+x2=

8(2k+3)k

3+4k2

所以x1+x2=

16k2-12

3+4k2

，x1-x2=

-48k

3+4k2

…（11分）kAB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1-2)+3+k(x1-2)-3

x1-x2

=

k(x1+x2)-4k

x1-x2

=

-24k

-48k

=

1

2

，
所以直線AB的斜率為定

1

2

…（13分）

點評：本題主要考查了橢圓的方程和性質，以及直線與橢圓的位置關系，運算量較大，綜合性較強．