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已知平面向量
a
=(sin(π-2x)，1)，
b
=(
3
，cos2x)，函數f(x)=
a
•
b
．
（1）寫出函數f（x）的單調遞減區間；
（2）設g(x)
lim
n→+∞
πn
πn+xN
（0＜x＜2π），求函數y=f（x）與y=g（x）圖象的所有交點坐標．
分析：（1）用向量的數量積的坐標運算求出f（x）的解析式，整體代換的方法求出單調區間
（2）用極限的運算法則求出g（x）為分段函數，再解三角方程得交點坐標．
解答：[理科]解：（1）f(x)=
3
sin(π-2x)+cos2x=2sin(2x+
π
6
)，
單調遞減區間為[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈z）；
（2）g（x）=
1(0＜x＜π)
1
2
(x=π)
0(π＜x＜2π)

當0＜x＜π時，解2sin（2x+
π
6
）=1，得x=
π
3
，
當x=π時，解2sin（2x+
π
6
）=
1
2
，無解，（11分）
當π＜x＜2π時，解2sin（2x+
π
6
）=0，得x=
17π
12
，
所以交點坐標為：（
π
3
，1），（
17π
12
，0）．
點評：考查向量的數量積，極限的運算法則，三角函數的單調區間及三角方程的解法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面向量
a
=（
3
2
，
1
2
），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）證明：
a
⊥
b
；
（2）若存在不同時為零的實數k和t，使
x
=
a
+（t2-k）
b
，
y
=-s
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，試求s=f（t）的函數關系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函數，試求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•上海）定義向量
OM
=（a，b）的“相伴函數”為f（x）=asinx+bcosx，函數f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為
OM
=（a，b）（其中O為坐標原點）．記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S．
（1）設g（x）=3sin（x+
π
2
）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，向量
OM
的“相伴函數”f（x）在x=x0處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x0的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面向量
a
=（
3
2
，
1
2
），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）證明：
a
⊥
b
；
（2）若存在不同時為零的實數k和t，使
x
=
a
+（t2-k）
b
，
y
=-s
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，試求s=f（t）的函數關系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函數，試求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：高考真題 題型：解答題

定義向量=（a，b）的“相伴函數”為f（x）=asinx+bcosx，函數f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為=（a，b）（其中O為坐標原點），記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S。
（1）設g（x）=3sin（x+）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，向量的“相伴函數”f（x）在x=x0處取得最大值，當點M在圓C上運動時，求tan2x0的取值范圍。

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科目：高中數學 來源：2012年上海市春季高考數學試卷（解析版） 題型：解答題

定義向量=（a，b）的“相伴函數”為f（x）=asinx+bcosx，函數f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為=（a，b）（其中O為坐標原點）．記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S．
（1）設g（x）=3sin（x+）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點，向量的“相伴函數”f（x）在x=x處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x的取值范圍．

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