Question

設函數f(x)=xⁿ+bx+c(n∈N₊,b,c∈R).
(1)設n≥2,b=1,c=-1,證明:f(x)在區間(,1)內存在唯一零點;
(2)設n為偶數,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;
(3)設n=2,若對任意x₁,x₂∈[-1,1],有|f(x₁)-f(x₂)|≤4,求b的取值范圍.

Answer 1

(1)見解析   (2)最小值為-6,最大值為0.    (3)-2≤b≤2

解:(1)當b=1,c=-1,n≥2時,f(x)=xⁿ+x-1,
∵ff(1)=×1<0,
∴f(x)在(,1)內存在零點.
又∵當x∈(,1)時,f′(x)=nx^n-1+1>0,
∴f(x)在區間(,1)內單調遞增,
∴f(x)在(,1)內存在唯一的零點.
(2)依題意知
∴.
畫出可行域可知b+3c在點(0,-2)處取得最小值-6.在點(0,0)處取得最大值0,因而b+3c的最小值為-6,最大值為0.

(3)當n=2時,f(x)=x²+bx+c,
對任意x₁,x₂∈[-1,1]都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4等價于f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值之差M≤4,據此分類討論如下:
若>1,即|b|>2時,
M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4與題設矛盾.
若-1≤-<0,即0<b≤2時,
M=f(1)-f(-)=(+1)²≤4恒成立.
若0≤-≤1,即-2≤b≤0時,
M=f(-1)-f(-)=(-1)²≤4恒成立.
綜上可知,-2≤b≤2.