Question

如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，F是AE的中點．
（1）證明：DF∥平面ABC；
（2）求AB與平面BDF所成角的大小．

Answer 1

分析：F是AE的中點考慮取AB中點G，連CG，GF，則GF∥BE，且GF=

1

2

BE．從而可證明DF∥CG，根據線面平行的判定定理可證
（2）設A到平面BDF距離為h，由V_A-BDF=V_D-ABF可求h，設AB與平面BDF所成角為θ，則sinθ=

h

AB

可求

解答：證明：（1）取AB中點G，連CG，GF，則GF∥BE，且GF=

1

2

BE．
∴GF∥CD且GF=CD
∴四邊形FGCD為平行四邊形．∴DF∥CG，
∵CG?平面ABC又DF?平面ABC
∴DF∥平面ABC．
（2）設A到平面BDF距離為h，由V_A-BDF=V_D-ABF知h=

S△ABF•CB

S△BDF

又△BDF中，BF=

2

，BD=DF=

5

，∴S△BDF=

3

2

，S△ABF=

1

2

S△ABE=1，CB=2，
∴h=

1×2

3 2

=

4

3

設AB與平面BDF所成角為θ，則sinθ=

h

AB

=

2

3

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理及線面平行與線線平行的相互轉化，而等體積求解距離是高考的重點內容，要注意熟練掌握，另外還要注意在直線與平面所成角的求解中，也可以不做垂線，而是直接根據其他知識求解出距離即可