Question

（2012•許昌二模）在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的圓心到直線l的距離；
（Ⅱ）設圓C與直線l交于點A、B．若點P的坐標為（3，

5

），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（I）圓C的極坐標方程兩邊同乘ρ，根據極坐標公式進行化簡就可求出直角坐標方程，最后再利用三角函數公式化成參數方程；
（Ⅱ）將直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得即t2-3

2

t+4=0，根據兩交點A，B所對應的參數分別為t₁，t₂，利用根與系數的關系結合參數的幾何意義即得．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=2

5

sinθ，可得x2+y2-2

5

y=0，即圓C的方程為x2+(y-

5

)2=5．
由

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

可得直線l的方程為x+y-

5

-3=0．
所以，圓C的圓心到直線l的距離為

|0+ 5 - 5 -3|

2

=

3 2

2

．         …（5分）
（Ⅱ）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得(3-

2

2

t)2+(

2

2

t)2=5，即t2-3

2

t+4=0．
由于△=(3

2

)2-4×4=2＞0．故可設t₁、t₂是上述方程的兩個實根，
所以

t1+t2=3 2 t1•t2=4.

，又直線l過點P(3，

5

)，
故由上式及t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3

2

．       …（10分）

點評：此題考查學生會將極坐標方程和參數方程分別化為直角坐標方程和普通方程，掌握直線參數方程中參數的幾何意義，是一道中檔題．