Question

設y=2x²+2ax+b（x∈R），已知當x=

1

2

時y有最小值-8．
（1）試求不等式y＞0的解集；
（2）集合B={x||x-t|≤

1

2

，x∈R}，且A∩B=∅，確定實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由當x=

1

2

時y有最小值-8得出函數的解析式，即：y=2（x-

1

2

^）2-8，再結合一元二次不等式求解即得；
（2）由（1）得集合A，再求出和B中不等式的解集，根據兩集合的交集為空集，列出關于t的不等式組，求出不等式組的解集即可得到t的取值范圍．

解答：解：（1）由當x=

1

2

時y有最小值-8
得：y=2（x-

1

2

^）2-8
可化為：y=2x²-x-

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2

不等式y＞0即2（x-

1

2

^）2-8＞0．
解得：x＞

5

2

或x＜-

3

2

（2）∵B={x||x-t|≤

1

2

，x∈R}={x|t-

1

2

≤x≤t+

1

2

}
因為A∩B=∅，所以得到：

t- 1 2 ≥- 3 2 t+ 1 2 ≤ 5 2

，
解得：-1≤t≤2，
所以是實數t的取值范圍是：[1，2]．

點評：此題要求學生掌握交集、空集的定義及性質，是一道基礎題．