Question

已知函數f(x)=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）①判斷函數f（x）的奇偶性；②用定義判斷函數f（x）的單調性；
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析：（1）先由原函數式反解出2^x，再利用2^x的取值范圍建立關于y的不等關系，解不等式即可；
（2）分別利用函數奇偶性和單調性的定義求解即可，對于奇偶性的判斷，只須考慮f（-x）與f（x）的關系即得；對于單調性的證明，先在定義域中任取兩個實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，再比較f（x₁）-f（x₂）即可；
（3）先依據函數y=f（x）在R上單調性化掉符號：“f”，將問題轉化為關于m的整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵2x=

1+y

1-y

，（2分）
又2^x＞0，∴-1＜y＜1
∴函數f（x）的值域為（-1，1）（4分）
（2）證明：①∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，（6分）
∴函數f（x）為奇函數（7分）
②f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在定義域中任取兩個實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，（8分）
則f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

（10分）
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，
從而f（x₁）-f（x₂）＜0（11分）
∴函數f（x）在R上為單調增函數（12分）
（3）由（2）得函數f（x）為奇函數，在R上為單調增函數
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），1-m＜m²-1（14分）
∴原不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）（16分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法、函數的值域等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．