Question

現有流量均為300的兩條河流A、B會合于某處后,不斷混合,它們的含沙量分別為2和0.2.假設從匯合處開始,沿岸設有若干個觀測點,兩股水流在流經相鄰兩個觀測點的過程中,其混合效果相當于兩股水流在1秒鐘內交換100的水量,即從A股流入B股100水,經混合后,又從B股流入A股100水并混合.問：從第幾個觀測點開始,兩股河水的含沙量之差小于0.01（不考慮泥沙沉淀）？

Answer 1

從第9個觀測點開始，兩股水流的含沙量之差小于0.01．

解析:

本題的不等關系為“兩股河水的含沙量之差小于0.01”．但直接建構這樣的不等關系較為困難.為表達方便,我們分別用來表示河水在流經第n個觀測點時,A水流和B水流的含沙量．則＝2，＝0.2，且

       ．（*）

由于題中問題是針對兩股河水的含沙量之差,所以我們不妨直接考慮數列．

由（*）可得：

       ∴數列是以為首項,以為公比的等比數列．

       ∴．依題意,令< 0.01，得．

∴．由得，所以，．

即從第9個觀測點開始，兩股水流的含沙量之差小于0.01．

【說明】本題為數列、不等式型綜合應用問題，難點在于對題意的理解．