Question

已知全集U=R，函數f（x）=

1

x+2

+lg（3-x）的定義域為集合A，集合B={x|a＜x＜2a-1}．
（Ⅰ）求?_UA；
（Ⅱ）若A∪B=A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數f（x）的解析式可得

x+2＞0 3-x＞0

，由此求得函數的定義域A，從而求得?_UA．
（Ⅱ）若A∪B=A，則B⊆A，當B≠∅時，應有-2≤a＜2a-1≤3，解得a的范圍；當B=∅時，應有a≥2a-1，由此解得a的范圍．再把以上兩個實數a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=

1

x+2

+lg（3-x），∴

x+2＞0 3-x＞0

，解得-2＜x＜3，
故函數的定義域為（-2，3），即A=（-2，3），∴?_UA=（-∞，-2]∪[3，+∞）．
（Ⅱ）若A∪B=A，則B⊆A，再根據集合B={x|a＜x＜2a-1}，
故當B≠∅時，應有-2≤a＜2a-1≤3，解得1＜a≤2．
當B=∅時，應有a≥2a-1，解得a≤1．
綜上可得，實數a的取值范圍為（-∞，2]．

點評：本題主要考查求函數的定義域，集合間的包換關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．