Question

（本小題滿分14分）
已知函數．
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數的值；
（Ⅱ）討論函數的單調性；
（Ⅲ）當時，記函數的最小值為，求證：．

Answer 1

（1）或；（2）函數在上單調遞減，在上單調遞增.（3）見解析.

第一問中因為曲線在點處的切線與直線垂直，則說明了函數在x=1處的導數值為-2，利用導數的運算可參數a的值。即由，所以，
解得或. 
第二問中因為，
則單調性的判定就取決于導數的正負的解集。那么因為二次項系數的正負不定，所以分類兩大類討論即可。
第三問中，
由（Ⅱ）知，當時，函數的最小值為，
且
構造函數借助于導數求解最值得到不等式的證明。
解：（I）的定義域為.
.
根據題意，有，所以，
解得或.                                       ……3分
（II）.
（1）當時，因為，
由得，解得；
由得，解得.
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）當時，因為，
由得，解得；
由得，解得.
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.         ……9分
（III）由（Ⅱ）知，當時，函數的最小值為，
且.
，
令，得.
當變化時，，的變化情況如下表：

	＋	0	－
		極大值

是在上的唯一極值點，且是極大值點，從而也是的最大值點.
所以
.
所以，當時，成立.                    ……14分