Question

 . 已知離心率為的橢圓的右焦點是圓的圓心，過橢圓上的動點P作圓的兩條切線分別交軸于M、N兩點．

（I）求橢圓的方程；

（II）求線段MN長的最大值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) ，  

解析:

（I）∵圓的圓心是，

∴橢圓的右焦點 F，……………………１分

∵橢圓的離心率是，∴

∴，∴橢圓的方程是．……………………４分

（II）解法一：設，

由得，∴．…………５分

直線的方程:，

化簡得 ．

又圓心到直線的距離為1，∴ ，………………６分

∴，

化簡得， ………………………………………………７分

同理有． ……………………………………………… ８分       　　　　　　　　　　　　　         

∴，，……………………………………………………9分

∴．………………………………10分

∵是橢圓上的點，∴，

∴，……………………11分                          　　　　　　

記，則，

時，；時，，

∴在上單調遞減，在內也是單調遞減，………………13分

∴，

當時，取得最大值，

此時點P位置是橢圓的左頂點．      …………………………14分   

解法二：由得，∴．……５分

設過點P的圓的切線方程為，

∵圓心到直線的距離為1，

∴，化簡得，∴．…………６分

設則，…………………………8分

∴，，……………………………………9分

∴．…………………10分

∵是橢圓上的點，∴，

∴，………………11分                          　　　　　　

記，則，

時，；時，，

∴在上單調遞減，在內也是單調遞減，…………13分

∴，

當時，取得最大值，

此時點P位置是橢圓的左頂點．   ………………………………14分