Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A（2，0），且與直線(xiàn)X=-2相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線(xiàn)l，與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，且以線(xiàn)段PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)A？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A（2，0），且與直線(xiàn)X=-2相切，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，可得軌跡C為以A（2，0）為焦點(diǎn)，X=-2為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，由此可得動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）設(shè)出直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，即可求出直線(xiàn)l的方程．
解答：解：（1）由題意可知，圓心到定點(diǎn)A（2，0）的距離與到定直線(xiàn)X=-2的距離相等，
由拋物線(xiàn)定義可知，軌跡C為以A（2，0）為焦點(diǎn)，X=-2為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
∴p=2，∴拋物線(xiàn)方程為y²=8x                  …（4分）
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l符合題意．…（5分）
由題意易知，直線(xiàn)l的斜率k存在且不為零，
又因過(guò)點(diǎn)（0，1），故設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1，…（6分）
聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程得，消元整理得k²x²+（2k-8）x+1=0，
設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則△=（2k-8）²-4k²＞0，∴k＜2 ①
且x₁+x₂=，；                                         …（9分）
∴=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（k²+1）x₁x₂+（k-2）（x₁+x₂）+5
=+（k-2）•（）+5==0
∴k=符合①，…（12分）
所以存在符合題意的直線(xiàn)l，其方程為y=（）x+1．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查拋物線(xiàn)的定義，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．