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已知向量
a
=（4，5cosα），
b
=（3，-4tanα），α∈(0，
π
2
)，且
a
⊥
b
．
（1）求|
a
+
b
|；
（2）求cos(2α+
π
4
)的值．
分析：（1）根據
a
⊥
b
，則
a
•
b
=0，然后利用數量積公式可求出sinα，再根據同角三角函數關系求出cosα，tanα，從而求出
a
與
b
的坐標，從而求出所求；
（2）由（1）根據二倍角公式可求出sin2α與cos2α，然后根據余弦的和角公式進行展開，即可求出所求．
解答：解：（1）∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=0，
即12+5cosα•（-4tanα）=0，
解得sinα=
3
5
，
又α∈(0，
π
2
)，
∴cosα=
4
5
，
∴tanα=
3
4
，
∴
a
=（4，4），
b
=（3，-3），
∴
a
+
b
=（7，1），
∴|
a
+
b
|=5
2
．
（2）由（1）可得sin2α=2sinαcosα=
24
25
，
cos2α=2cos2α-1=
7
25
，
∴cos(2α+
π
4
)=
2
2
(cos2α-sin2α)=
2
2
（
7
25
-
24
25
）=-
17
2
25
．
點評：本題主要考查了數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，以及兩角和與差的余弦函數，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（理）已知向量
a
=（3，5，-1），
b
=（2，2，3），
c
=（4，-1，-3），則向量2
a
-3
b
+4
c
的坐標為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知向量
a
=（4，-2），向量
b
=（x，5），且
a
∥
b
，那么x的值等于（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(1，x-5)，
b
=(x，4)，若
a
⊥
b
，則x的值為（　　）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

（理）已知向量
a
=（3，5，-1），
b
=（2，2，3），
c
=（4，-1，-3），則向量2
a
-3
b
+4
c
的坐標為（　　）
A．（16，0，-23）B．（28，0，-23）C．（16，-4，-1）D．（0，0，9）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量a=（4，2），向量b=（x，3），且a∥b，則x=

    （A）9                        （B）6                        （C）5                       （D）3

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