Question

(本題滿分13分) 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、 三點.  （1）求橢圓的方程：（2）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；（3）若直線與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在定直線上并求該直線的方程．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

：（1）設(shè)橢圓方程為

將、、代入橢圓E的方程，得

解得.∴橢圓的方程（4分）

（2），設(shè)邊上的高為  當(dāng)點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為．設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因為的周長為定值6．所以，所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 10分

（3）將直線代入橢圓的方程并整理．得

．設(shè)直線與橢圓的交點，

由根系數(shù)的關(guān)系，得．

直線的方程為：，它與直線的交點坐標(biāo)為

同理可求得直線與直線的交點坐標(biāo)為．

下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱坐標(biāo)相等：

，

因此結(jié)論成立．綜上可知．直線與直線的交點住直線上．