Question

為綜合治理交通擁堵狀況，緩解機動車過快增長勢頭，一些大城市出臺了“機動車搖號上牌”的新規．某大城市2012年初機動車的保有量為600萬輛，預計此后每年將報廢本年度機動車保有量的5%，且報廢后機動車的牌照不再使用，同時每年投放10萬輛的機動車牌號，只有搖號獲得指標的機動車才能上牌．經調研，獲得搖號指標的市民通常都會在當年購買機動車上牌．
（1）問：到2016年初，該城市的機動車保有量為多少萬輛；
（2）根據該城市交通建設規劃要求，預計機動車的保有量少于500萬輛時，該城市交通擁堵狀況才真正得到緩解．問：至少需要多少年可以實現這一目標．
（參考數據：，，，）

Answer 1

（1）萬輛．  （2）至少需要8年時間才能實現目標．

本試題主要是考查了數列在實際生活中的運用，借助于等比數列的概念，和等比數列的通項公式來表示機動車保有量，然后借助于不等式的相關知識，求解對數不等式，得到結論。
（1）首先將實際問題分析，得到關于各年年初機動車保有量的遞推關系，然后結合數列的性質，構造得到等比數列，進而得到其通項公式
（2）在第一問的基礎上，解關于n的不等式，進而估算法得到結論
（1）設2012年年初機動車保有量為萬輛，以后各年年初機動車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增機動車10萬輛，則，．              
又，且，
∴ 數列是以為首項，為公比的等比數列．…… …… …… 4分
∴ ，即．
∴2016年初機動車保有量為萬輛．    …… …… 8分
（2）由題可知， ，即 ，
∴ ，故至少需要8年時間才能實現目標