Question

(2007湖北部分重點中學模擬)如下圖所示，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點．

(1)求證：BM∥平面PAD；

(2)在側面PAD內找一點N，使MN⊥平面PBD；

(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵M是PC的中點，取PD的中點E，則，又， ∴四邊形ABME為平行四邊形， ∴BM∥EA，BM平面PAD，EA平面PAD， ∴BM∥平面PAD． (2)以A為原點，以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖，則B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，M(1，1，1)，E(0，1，1)． 在平面PAD內設N(0，y，z)，=(－1，y－1，z－1)，=(1，0，－2)，=(1，－2，0)， 由，∴，∴， 由，∴，∴，∴， ∴N是AE的中點，此時MN⊥平面PBD， (3)設直線PC與平面PBD所成的角為θ，=(2，2，－2)，， 設為α．， ，故直線PC與平面PBD所成角的正弦為．