Question

設函數
（Ⅰ）當時，求的最大值；
（Ⅱ）令，（），其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）當，，方程有唯一實數解，求正數的值．

Answer 1

略

解: （Ⅰ）依題意，知的定義域為（0，+∞），
當時，，
（2′）令=0，
解得．（∵）
因為有唯一解，所以，當時，
，此時單調遞增；
當時，，此時單調遞減。
所以的極大值為，此即為最大值        ………4分
（Ⅱ），，則有≤，在上恒成立，
所以≥，             
當時，取得最大值，所以≥…            ……8分
（Ⅲ）因為方程有唯一實數解，
所以有唯一實數解，
設，
則．令，.
因為，，所以（舍去），，
當時，，在（0，）上單調遞減，
當時，，在（，+∞）單調遞增
當時，=0，取最小值．
則既
所以，因為，所以（*）
設函數，因為當時，
是增函數，所以至多有一解．
因為，所以方程（*）的解為，即，解得 12分