Question

已知x、y為正實數,且滿足關系式x²-2x+4y²=0,求x、y的最大值.

Answer 1

思路分析：題中有兩個變量x和y,首先應選擇一個主變量,可利用換元法,然后再求導.

解：由x²-2x+4y²=0,得(x-1)²+4y²=1(x＞0,y＞0).

設x-1=cosα,y=sinα(0＜α＜π),

∴x·y=sinα(1+cosα).

設f(α)=sinα(1+cosα)=sinα+sinαcosα,

∴f′(α)=cosα+cos²α-sin²α=(2cos²α+cosα-1)

=(cosα+1)(cosα-).

令f′(α)=0,得cosα=-1或cosα=.

∵0＜α＜π,∴α=

,此時.

∴f(π3)=

.∴［f(α)］_max=,

即當

時,［x·y］_max=

.    方法歸納 在實現轉化的過程中,關鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設條件,以免陷入困境.