Question

例4．若正數a，b，c滿足a+b+c=1，求證：．

Answer 1

解：∵若正數a，b，c滿足a+b+c=1
∴設a=+x，b=+y，c=+z（其中x+y+z=0）
∴a²+b²+c²
=+2（x+y+z）+x²+y²+z²≥
∵++≥3×
又∵1=a+b+c≥
∴
∴++≥3×≥27
∴
=a²+b²+c²++++6
≥
=
∴．
分析：首先根據題意設出a，b，c的值，然后分別分析a²+b²+c²，與++的取值范圍，最后化簡即可求證結論成立．
點評：本題考查不等式的證明，通過對需要證明的不等式進行化簡，分塊進行證明．涉及基本不等式以及不等式的轉換，需要對知識熟練掌握并運用，屬于基礎題．