Question

在△ABC中，∠B=45°，b=

10

，cosC=

2 5

5

．
（1）求a；
（2）設AB的中點為D，求中線CD的長．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數的關系和兩角和的正弦公式，算出sinA=sin（B+C）=

3 10

10

，再正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

的式子，即可解出a的長；
（2）利用余弦定理算出c=2．設CD=x，根據余弦定理關于三角形中線的定理建立關于x的方程，解得x=

13

，即得AB邊的中線CD的長．

解答：解：（1）∵cosC=

2 5

5

，∴sinC=

1-cos2C

=

5

5

可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2

2

•

2 5

5

+

2

2

•

5

5

=

3 10

10

由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得a=

bsinA

sinB

=

10 • 3 10 10

2 2

=3

2

；
（2）∵由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC
∴c²=18+10-2×3

2

×

10

×

2 5

5

=4，可得c=2
設中線CD=x，則有
∵AB²+（2CD）²=2（BC²+AC²），即c²+4x²=2（a²+b²）
∴4x²=2（a²+b²）-c²=2（18+10）-4=52，解之得x=

13

即AB邊的中線CD的長等于

13

．

點評：本題給出三角形的兩角和一條邊，求一條邊和一條中線的長．著重考查了同角三角函數關系、兩角和的正弦公式和正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．