Question

 

如圖1，E、F分別是矩形ABCD的邊AB、CD的中點，G是EF上的一點，將△GAB、△GCD分別沿AB、CD翻折成△G₁AB、△G₂CD，并連接G₁G₂，使平面G­₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂∥AD，且G₁G₂＜AD，連結BG₂如圖2．

(1) 證明平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；

(2) 當AB = 12，BC = 25，EG = 8時，求直線BG₂與平面G₁ADG₂成角．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一：

(1) ∵ 平面G₁AB⊥平面ABCD，平面G₁AB平面ABCD = AB，AD⊥AB，AD平面ABCD

   ∴ AD⊥平面G₁AB

   又∵AD平面G₁ADG₂

∴ 平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂ 5分

(2) 過點B作BH⊥AG₁于點H，連接G₂H，由(1)的結論可知，BH⊥平面G₁ADG₂

∴ ∠BG₂H是BG₂和平面G₁ADG₂所成的角

∵ 平面G₁AB⊥平面ABCD，平面G₁AB平面ABCD = AB，

G₁E⊥AB，G₁E平面G₁AB

∴ G₁E⊥平面ABCD，故G₁E⊥EF

∵ G₁G₂ < AD，AD = EF

∴ 可在EF上取一點O，使EO = G₁G₂

又∵ G₁G₂∥AD∥EO

∴ 四邊形G₁EOG₂是矩形

由題設AB = 12，BC = 25，EG = 8，則GF = 17

∴ G₂O = G₁E = 8，G₂F = 17，，G₁G₂ = EO = 10

∵ AD⊥平面G₁AB，G₁G₂∥AD

∴ G₁G₂⊥平面G₁AB，從而G₁G₂⊥G₁B

故，

又，由得

故

即直線BG₂與平面G₁ADG₂所成的角是   7分

解法二：

(1) ∵ 平面G₁AB⊥平面ABCD，平面G₁AB平面ABCD = AB，

G₁E⊥AB，G₁E平面G₁AB

   ∴ G₁E⊥平面ABCD，從而G₁E⊥AD

   又∵ AB⊥AD

∴ AD⊥平面G₁AB

∵ AD平面G₁ADG₂

∴ 平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂ 5分

(2) 由(1)可知，G₁E⊥平面ABCD，故可以E為原點，分別以直線EB、EF、EG₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，由題設AB = 12，BC = 25，EG = 8，則EB = 6，EF = 25，EG₁ = 8，相關各點的坐標分別是A（–6，0，0），D（–6，25，0），G₁（0，0，8），B（6，0，0），所以=（0，25，0），=（6，0，8）

設n =（x，y，z）是平面G₁ADG₂的一個法向量

由，故可取n =（4，0，–3）

過點G₂作G₂O⊥平面ABCD于點O，因為G₂C = G₂D，

∴ OC = OD，于是點O在y軸上

因為G₁G₂∥AD，所以G₁G₂∥EF，G₂O = G₁E = 8

設G₂（0，m，8）（0 < m < 25），由解得m = 10

∴ =（0，10，8）－（6，0，0）=（– 6，10，8）

設BG₂和平面G₁ADG₂所成的解是，

則

故直線BG₂與平面G₁ADG₂所成的角是   7分