Question

過拋物線的焦點F作直線l與拋物線C交于A、B兩點，當點A的縱坐標為1時，|AF|=2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若拋物線C上存在一點M，使得MA⊥MB，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵|AF|=2，∴由拋物線的定義，可得1+=2，∴p=2
∴拋物線C的方程為x²=4y；
（2）拋物線C的焦點為F（0，1），設直線l的方程為y=kx+1，A（），B（），M（）
直線方程代入拋物線方程可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
∵MA⊥MB，∴
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+=0
∵M不與A，B重合，∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）≠0
∴1+（x₁+x₀）（x₂+x₀）=0
∴x₁x₂+（x₁+x₂）x₀+=0
∴
∴△=16k²-48≥0
∴k≤或k≥．
分析：（1）利用拋物線的定義，結合|AF|=2，即可求得拋物線的方程；
（2）直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理及MA⊥MB，建立方程，即可求直線l的斜率k的取值范圍．
點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．