Question

已知函數y＝a(a＞0，且a≠1)，當x∈[1，3]時有最小值8，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：y＝a(a＞0，且a≠1)是一個復合函數，其中外層函數y＝au，無論a為何值，它都是單調函數，所以關鍵要看u＝x2－3x＋3的值域． 　　解：令u＝x2－3x＋3，則y＝au，u＝＋， 　　由x∈[1，3]，知umin＝u＝，umax＝u(3)＝3． 　　所以，當a＞1時，ymin＝a＝8，解得a＝16； 　　當0＜a＜1時，ymin＝a3＝8，解得a＝2(舍去)． 　　因此，a的值為16． 　　點評：求復合函數的值域，往往使用換元法將復合函數分解為兩個或兩個以上的基本初等函數，然后由其定義域確定中間變量u的值域，再以u為自變量確定y的值域，這種方法是確定復合函數值域的一般方法． 　　求解函數最值的方法比較多，而求解指、對、冪函數最值的常用方法是以上四種方法．需要注意的是，有時對同一道題并不只用一種方法就能解決，往往需要同時利用多種方法求解，如換元法、分類討論法等往往貫穿于其他的方法中．