Question

如下圖，在四棱柱中，底面和側面都
是矩形，是的中點，，.
（1）求證：
（2）求證：平面；
（3）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）利用已知條件得到，，從而證明平面，得到再結合證明平面，從而得到；（2）連接、證明四邊形為平行四邊形，連接對角線的交點與點的連線為的中位線，再利用線面平行的判定定理即可證明平面；（3）在（1）的前提條件中平面下，選擇以點為坐標原點，、分別為軸、軸的空間直角坐標系，設，利用法向量將條件“平面與平面所成的銳二面角的大小為”進行轉化，從而求出的長度.
試題解析：（1）因為底面和側面是矩形，
所以，，
又因為，
所以平面，
因為平面，
所以；
（2）因為，，
所以四邊形是平行四邊形.
連接交于點，連接，則為的中點.
在中，因為，，
所以.
又因為平面，平面，
所以平面；
（3）由（1）可知，
又因為，，
所以平面.
設G為AB的中點，以E為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸
如圖建立空間直角坐標系，

設，則、、、、、，
設平面法向量為，
因為，，
由，得
令，得.
設平面法向量為，
因為，，
由得
令，得.
由平面與平面所成的銳二面角的大小為，
得，
解得.