Question

已知a＞1，當x∈[2，+∞）時，函數f（x）=㏒_a（x²-ax+2）的值恒為正．
（1）求a的取值范圍；
（2）記（1）中a的取值范圍為集合A，函數g（x）=㏒₂（tx²+2x-2）的定義域為集合B．若A∩B≠Φ，求實數t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當x∈[2，+∞）時，x²-ax+2＞1恒成立
即當x∈[2，+∞）時，a＜x+恒成立；…
又因為函數x+在[2，+∞）上是增函數，所以（x+）_min=，
∴1＜a＜．…
（2）A=（1，），B={x|tx²+2x-2＞0}．…
由于A∩B≠Φ，所以不等式tx²+2x-2＞0有屬于A的解，即t＞-有屬于A的解；
又1＜x＜時，即＜＜1，…
所以-=2（-）²-∈[-，0）．
故t＞-．…
分析：（1）a＞1，當x∈[2，+∞）時，函數f（x）=㏒_a（x²-ax+2）的值恒為正可轉化成當x∈[2，+∞）時，x²-ax+2＞1恒成立，然后將a分離出來，利用函數的單調性求解不等式另一側的最值，從而求出a的取值范圍；
（2）由于A∩B≠Φ，所以不等式tx²+2x-2＞0有屬于A的解，即t＞-有屬于A的解，根據二次函數的性質求出不等式右側的最小值，即可求出t的取值范圍．
點評：本題主要考查了利用參數分離法求恒成立問題，以及二次函數的性質，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．