Question

袋中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的3個(gè)紅球和6個(gè)白球，每次從袋中摸出一個(gè)球．
（1）一共摸出5個(gè)球，求恰好有3個(gè)紅球的概率；
（2）若有放回的摸球，一共有5次摸球的機(jī)會(huì)，在摸球過(guò)程中，若有三次摸到紅球則停止．記停止摸球時(shí)，已經(jīng)摸到紅球的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）一共摸出5個(gè)球，所有的放法共有

C

5 9

種，而恰有3個(gè)紅球的方法有

C

3 3

•

C

2 6

，由此可得恰好有3個(gè)紅球的 概率為P=

C 3 3 •C 2 6

C 5 9

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）每次摸球時(shí)，摸到白球的概率為

6

9

=

2

3

，摸到紅球的概率為

3

9

=

1

3

，ξ可以取值為0，1，2，3，再求出ξ可以取的每一個(gè)值的概率，即可得到ξ的分布列．
再把ξ的每一個(gè)值乘以對(duì)應(yīng)的概率，相加即得ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）一共摸出5個(gè)球，所有的放法共有

C

5 9

種，而恰有3個(gè)紅球的方法有

C

3 3

•

C

2 6

，
∴恰好有3個(gè)紅球的 概率為P=

C 3 3 •C 2 6

C 5 9

=

5

42

．…（4分）
（2）每次摸球時(shí)，摸到白球的概率為

6

9

=

2

3

，摸到紅球的概率為

3

9

=

1

3

，ξ可以取值為0，1，2，3． …（5分）
P(ξ=0)=(

2

3

)5=

32

243

P(ξ=1)=

C

1 5

1

3

(

2

3

)4=

80

243

，

P(ξ=2)= C 2 5 ( 1 3 )2( 2 3 )3= 80 243

，

P(ξ=3)=( 1 3 )3+ C 1 3 2 3 ( 1 3 )3+ C 2 4 ( 2 3 )2( 1 3 )3= 51 243

．
所以，ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	32 243	80 243	51 243	51 243

…（8分）
則ξ的數(shù)學(xué)期望 Eξ=0+1×

80

243

+2×

51

243

+3×

51

243

=

131

81

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求離散型隨機(jī)變量的分布列、求隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題．