Question

（本小題滿分13分）

已知數列滿足：，

   （I）求得值；

   （II）設求證：數列是等比數列，并求出其通項公式；

   （III）對任意的，在數列中是否存在連續的項構成等差數列？若存在，寫出這項，并證明這項構成等差數列；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（I）因為，

        ………………3分

 

   （II）由題意，對于任意的正整數，

所以            ………………4分

又

所以           ………………6分

又        ………………7分

所以是首項為2，公比為2的等比數列，所以 ………………8分

   （III）存在，事實上，對任意的中，

這連續的項就構成一個等差數列………………10分

我們先來證明：

“對任意的”

由（II）得

當為奇數時，

當k為偶數時，

記

因此要證

其中

   （這是因為若時，則k一定是奇數）

有

如此遞推，要證

其中

如此遞推下去，我們只需證明

即，由（I）可得，

所以對

對任意的

所以

又

所以這連續的項，

是首項為的等差數列。 ………………13分

說明：當時，

因為構成一個項數為的等差數列，所以從這個數列中任取連續的項，也是一個項數為的等差數列。

【解析】略