Question

（2009•惠州模擬）（1）已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

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，求f（x）的解析式；
（2）設f（x）=x²-2ax+2，當x∈[-1，+∞）時，f（x）≥a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求a，b，c．
（2）要求當x∈[-1，+∞）時，f（x）≥a恒成立，實質是求函數f（x）在[-1，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）由二次函數圖象的對稱性，可設f(x)=a(x-

1

2

)2-

1

4

，（a＞0）
又f（0）=0，∴a=1．
故f（x）=x²-x…（4分）
（2）要使x∈[-1，+∞），f（x）≥a恒成立?f（x）_min≥a，
當a≤-1時，f（x）_min=f（-1）=3+2a…（6分）
即3+2a≥a?a≥-3
故此時-3≤a≤-1…（8分）
當a＞-1時，f(x)min=f(a)=a2-2a2+2=2-a2，
若x∈[-1，+∞），f（x）≥a恒成立?f（x）_min≥a，
即2-a²≥a?a²+a-2≤0?-2≤a≤1
故此時-1＜a≤1…（12分）
綜上當-3≤a≤-1時，x∈[-1，+∞），f（x）≥a恒成立             …（14分）

點評：本題考查了利用待定系數法求二次函數的解析式，以及二次函數在給定區間上的最值求法，要求利用數形結合的思想去求解．