Question

已知如下等式：12=

1×2×3

6

，12+22=

2×3×5

6

，12+22+32=

3×4×7

6

，…當n∈N^*時，試猜想1²+2²+3²+…+n²的值，并用數學歸納法給予證明．

Answer 1

分析：解答此類的方法是從特殊的前幾個式子進行分析找出規律．觀察前幾個式子的變化規律，從中猜想1²+2²+3²+…+n²的值．再用數學歸納法證明，證明時分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=1時，命題成立，第二步，先假設當n=k時，原式成立，利用此假設證明當n=k+1時，結論也成立即可．

解答：解：由已知，猜想1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

，
下面用數學歸納法給予證明：
（1）當n=1時，由已知得原式成立；
（2）假設當n=k時，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

，
那么，當n=k+1時，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+（k+1）²
=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

6

故n=k+1時，原式也成立．
由（1）、（2）知1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

成立．

點評：本題主要考查歸納推理、數學歸納法，數學歸納法的基本形式：設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）；2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立．