Question

（2008•南匯區二模）數列{a_n}各項均為正數，S_n為其前n項的和．對于n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）設數列{

1

an

}的前n項和為T_n，數列{T_n}的前n項和為R_n，求證：當n≥2，n∈N時，R_n-1=n（T_n-1）；
（3）若函數f(x)=

1

(p-1)•3qx+1

的定義域為R_n，并且

lim

n→∞

f(an)=0(n∈N*)，求證p+q＞1．

Answer 1

分析：（1）主要利用等差中項得出S_n與a_n的關系式，在利用 an =

S1            n=1 Sn-Sn-1    n≥2

可求出a_n．
（2）就是要用數學歸納法證明，先驗證：n=2時等式成立，再假設 n=k時等式成立，推n=k+1時成立，其中有要利用好假設條件和R_k=R_k-1+T_k就可證出．
（3）先說明：q≠0．如果q=0，則f(x)=

1

p

，

lim

n→∞

f(an)不是0，∴q≠0；再根據(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(

1

3q

)x恒成立．由于q≠0時，-(

1

3q

)x的值域為（-∞，0），結合條件得出3^q＞1從而得出p+q＞1．

解答：解：（1）由已知n∈N^*時，2S_n=a_n+a_n²總成立．∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2），
兩式作差，得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），∵a_n、a_n-1均為正數．∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．∴{a_n}是公差為1的等差數列．
又n=1時，2S₁=2a₁=a₁+a₁²，得a₁=1，故a_n=n．…（4分）
（2）下面用數學歸納法證明：
①當n=2時，R1=T1=

1

a1

=1，2(T2-1)=2(

1

a1

+

1

a2

-1)=1．∴n=2時，等式成立
②假設當n=k（k≥2）時，

Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k=(k+1)(Tk+1- 1 ak+1 )-k =(k+1)(Tk+1- 1 k+1 )-k=(k+1)(Tk+1-1+1- 1 k+1 )-k=(k+1)(Tk+1-1). 當n=k+1時，等式也成立.

綜合①和②，可知所要證明的等式成立．…（10分）
（3）如果q=0，則f(x)=

1

p

，

lim

n→∞

f(an)不是0，∴q≠0，∵f（x）定義域為R，
∴(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(

1

3q

)x恒成立．由于q≠0時，-(

1

3q

)x的值域為（-∞，0），
∴p-1≥0，又當p=1時，f（x）=1.

lim

n→∞

f(an)≠0，
∴p＞1．
∵

lim

n→∞

f(an)=

lim

n→∞

1

(p-1)•3qn+1

=

1 0＜3q＜1 1 p 3q=1 ，， left 0&3q ＞ 1

∴3^q＞1，∴q＞0，故p+q＞1…16分

點評：本題的第1問比較簡單，主要考查了 an =

S1            n=1 Sn-Sn-1    n≥2

這個知識點．第2問主要考查了數學歸納法證明，關鍵在于 n=k+1時的推導過程要利用好假設條件和題的條件，運算的技巧性較強．