Question

（2001•上海）對任意函數f（x），x∈D，可按圖示構造一個數列發生器，其工作原理如下：
①輸入數據x₀∈D，經按列發生器，其工作原理如圖：
②若x₁∈D，則數列發生器結束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f（x₁），并依此規律繼續下去，現定義f(x)=

4x-2

x+1

．
（Ⅰ）若輸入x0=

49

65

，則由數列發生器產生數列{x_n}．請寫出數列{x_n}的所有項：
（Ⅱ）若要數列發生器產生一個無窮的常數數列，試求輸入的初始數據x₀的值；
（Ⅲ）若輸入x₀時，產生的無窮數列{x_n}滿足；對任意正整數n，均有x_n＞x_n+1，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定f（x）的定義域，可得數列{x_n}只有三項；
（2）由f(x)=

4x-2

x+1

=x，可得結論；
（3）解不等式x＜

4x-2

x+1

，得x＜-1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2，從而可求x₀的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴數列{x_n}只有三項：x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．…（3分）
（2）∵f(x)=

4x-2

x+1

=x，即x²-3x+2=0，
∴x=1，或x=2．
即當x₀=1或2時，xn+1=

4xn-2

xn+1

=xn．
故當x₀=1時，x_n=1；當x₀=2時，x_n=2（n∈N）．…（9分）
（3）解不等式x＜

4x-2

x+1

，得x＜-1或1＜x＜2．
要使，x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2．…（12分）
對于函數f(x)=

4x-2

x+1

=4-

6

x+1

，
若x₁＜-1，則x₂=f（x₁）＞4，x₃=f（x₂）＜x₂．…（15分）
當1＜x₁＜2時，x₂=f（x），且1＜x₂＜2，
依此類推，可得數列{x_n}的所有項均滿足x_n+1＞x_n（n∈N）．
綜上所述，x₁∈（1，2）．
由x₁=f（x₀），得x₀∈（1，2）．…（18分）

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查新定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．