Question

（本題滿分14分）
對數列{a_n}，規定{△a_n}為數列{a_n}的一階差分數列，其中。
對自然數k，規定為{a_n}的k階差分數列，其中。
（1）已知數列{a_n}的通項公式，試判斷是否為等差或等比數列，為什么？
（2）若數列{a_n}首項a₁=1，且滿足，求數列{a_n}的通項公式。
（3）對（2）中數列{a_n}，是否存在等差數列{b_n}，使得對一切自然都成立？若存在，求數列{b_n}的通項公式；若不存在，則請說明理由。

Answer 1

（1）根據給定的新定義來分析得到結論。
（2）
（3）存在等差數列，b_n=n，使得對一切自然都成立。

試題分析：解：（1）
是首項為4，公差為2的等差數列

是首項為2，公差為0的等差數列；也是首項為2，公比為1的等比數列
（2），即，即


猜想：
證明：i）當n=1時，；
ii）假設n=k時，時，
結論也成立
∴由i）、ii）可知，
（3），即

∴存在等差數列，b_n=n，使得對一切自然都成立。
點評：解決該試題的關鍵是利用數列的定義以及等差數列的概念結合得到結論，屬于基礎題。