Question

已知函數．
（1）若函數f（x）是（0，+∞）上的增函數，求實數b的取值范圍；
（2）當b=2時，若不等式f（x）＜x在區間（1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數g（x）若存在區間[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]時，函數g（x）的值域也是[m，n]，則稱g（x）是[m，n]上的閉函數．若函數f（x）是某區間上的閉函數，試探求a，b應滿足的條件．

Answer 1

解：（1）當x∈（0，+∞）時，
設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，由f（x）是（0，+∞）上的增函數，則f（x₁）＜f（x₂）
由x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）知x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，所以b＞0，即b∈（0，+∞）
（2）當b=2時，在x∈（1，+∞）上恒成立，即
因為，當即時取等號，
，所以在x∈（1，+∞）上的最小值為．則
（3）因為的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），
設f（x）是區間[m，n]上的閉函數，則mn＞0且b≠0
①若0＜m＜n
當b＞0時，是（0，+∞）上的增函數，則，
所以方程在（0，+∞）上有兩不等實根，
即x²-ax+b=0在（0，+∞）上有兩不等實根，所以，即a＞0，b＞0且a²-4b＞0
當b＜0時，在（0，+∞）上遞減，則，即，
所以a=0，b＜0
②若m＜n＜0
當b＞0時，是（-∞，0）上的減函數，所以，即，
所以a=0，b＞0
當b＜0是（-∞，0）上的增函數，所以所以方程在（-∞，0）上有兩不等實根，即x²+ax-b=0在（-∞，0）上有兩不等實根，
所以即a＜0，b＜0且a²+4b＞0
綜上知：a=0，b≠0或a＜0，b＜0且a²+4b＞0或a＞0，b＞0且a²-4b＞0．
即：a=0，b≠0或ab＞0且a²-4|b|＞0
分析：（1）先去絕對值，然后設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根據函數f（x）是（0，+∞）上的增函數，則f（x₁）＜f（x₂），建立關系式，化簡整理可求出b的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＜x在區間（1，+∞）上恒成立，可轉化成在（1，+∞）上恒成立，求出不等式右邊的最小值即，使得a小于此最小值即可；
（3）設f（x）是區間[m，n]上的閉函數，則mn＞0且b≠0，討論m與n同正與同負兩種情形，以及討論b的正負，根據函數的單調性建立關系式，即可求出a與b滿足的條件．
點評：本題主要考查了函數的單調性，以及函數恒成立和函數的值域，是一道綜合題，有一定的難度．