Question

設a為實常數，函數f（x）=-x³+ax²-4．
（1）若函數y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，求函數f（x）的單調區間；
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，把x=1代入導函數中求出的導函數值即為切線的斜率，然后再根據切線的傾斜角求出切線的斜率，兩個斜率相等即可求出a的值，把a的值代入導函數確定出導函數，令導函數大于0，求出x的取值范圍即為函數的遞增區間，令導函數小于0求出x的范圍即為函數的遞減區間；
（2）求出f（x）的導函數，當a小于等于0時，由x大于0，得到導函數小于0，即函數在（0，+∞）上為減函數，又x=0時f（x）的值為-4且當x大于0時，f（x）小于-4，所以當a小于等于0時，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0；當a大于0時，分區間討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到f（x）的最大值，讓最大值大于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，綜上，得到滿足題意的z的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax．根據題意f′（1）=tan

π

4

=1，
∴-3+2a=1，即a=2．∴f′（x）=-3x²+4x=-3x(x-

4

3

)．
當f′（x）＞0，得x(x-

4

3

)＜0，即0＜x＜

4

3

；當f′（x）＜0，得x(x-

4

3

)＞0，即x＜0或x＞

4

3

．
∴f′（x）的單調遞增區間是(0，

4

3

)，單調遞減區間是（-∞，0）∪(

4

3

，+∞)；
（2）f′（x）=-3x(x-

2a

3

)．
①若a≤0，當x＞0時，f′（x）＜0，從而f（x）在（0，+∞）上是減函數，
又f（0）=-4，則當x＞0時，f（x）＜-4．
∴當a≤0時，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0；
②當a＞0，則當0＜x＜

2a

3

時，f′（x）＞0，當x＞

2a

3

時，f′（x）＜0．
從而f（x）在(0，

2a

3

)上單調遞增，在(

2a

3

，+∞)上單調遞減．
∴當x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f(

2a

3

)=-

8a3

27

+

4a3

9

-4=

4a3

27

-4．
據題意，

4a3

27

-4＞0，即a³＞27，∴a＞3．
故a的取值范圍是（3，+∞）．

點評：此題考查學生利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調性，是一道中檔題．