Question

（本題滿分14分）已知圓，圓，動點到圓,上點的距離的最小值相等.

（1）求點的軌跡方程；

（2）點的軌跡上是否存在點，使得點到點的距離減去點到點的距離的差為，如果存在求出點坐標，如果不存在說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）點的軌跡方程是.（2）點的軌跡上不存在滿足條件的點.  

【解析】本試題主要是考查了動點的軌跡方程的求解，以及滿足動點到定點的距離差為定值的點是否存在的探索性問題的運用。

（（1）根據已知設出點的坐標，因為點到圓上點的距離的最小值相等，所以可知點到圓心的距離相等，因此得到軌跡方程。

（2）假設存在點滿足題意可知，得到關于x,y的方程，然后利用方程有無解來判定是否存在的問題。

解：（1）設動點的坐標為，

圓的圓心坐標為，圓的圓心坐標為， 

因為動點到圓,上的點距離最小值相等，所以,

即，化簡得，

因此點的軌跡方程是.

（2）假設這樣的點存在，設點

因為點到點的距離減去點到點的距離的差為4，

所以，

，

又點在直線上， 點的坐標是方程組的解，

消元得，，方程組無解，

所以點的軌跡上不存在滿足條件的點.