Question

設函數是定義域為R的奇函數．

（1）求k值；

（2）（文）當時，試判斷函數單調性并求不等式f(x²＋2x)＋f(x－4)>0的解集；

（理）若f(1)<0，試判斷函數單調性并求使不等式恒成立的的取值范圍；

（3）若f(1)＝，且g(x)＝a ^2x＋a ^{- 2x}－2m f(x) 在[1，＋∞)上的最小值為－2，求m的值．

Answer 1

解(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數，

∴f(0)＝0，                          …………………… 2分

∴1-（k－1）＝0，∴k＝2，            …………………… 4分

（2）（文）

，單調遞減，單調遞增，故f(x)在R上單調遞減。

…………………… 6分

原不等式化為：f(x²＋2x)>f(4－x)

∴x²＋2x<4－x，即x²＋3x－4<0         …………………… 8分

∴，

∴不等式的解集為{x|}．   …………………………10分

（2）（理）

………………6分

單調遞減，單調遞增，故f(x)在R上單調遞減。                                    ………………7分

不等式化為

恒成立，…………… 8分

，解得。…………………… 10分

(3)∵f(1)＝，，即

……………………………………12分

∴g(x)＝2^2x＋2^－2x－2m(2^x－2^－x)＝(2^x－2^－x)²－2m(2^x－2^－x)＋2.

令t＝f(x)＝2^x－2^－x，

由(1)可知f(x)＝2^x－2^－x為增函數

∵x≥1，∴t≥f(1)＝，

令h(t)＝t²－2mt＋2＝(t－m)²＋2－m²　(t≥)………………15分

若m≥，當t＝m時，h(t)_min＝2－m²＝－2，∴m＝2………… 16分

若m<，當t＝時，h(t)_min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去……17分

綜上可知m＝2.                 ………………………………18分