Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F分別在AA₁，CC₁上，且AE=

3

4

AA₁，CF=

1

3

CC₁，點A，C到BD的距離之比為3：2，則三棱錐E-BCD和F-ABD的體積比

VE-BCD

VF-ABD

=

3

2

．

Answer 1

分析：根據A、C到BD的距離之比算出S_△BCD：S_△ABD．由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AE=

3

4

AA₁且CF=

1

3

CC₁，算出AE：CF的比值，再由錐體的體積公式加以計算即可得到

VE-BCD

VF-ABD

的值

解答：解：∵點A、C到BD的距離之比為3：2，
∴△BCD和△ABD的面積之比為3：2，可得S_△BCD=

2

3

S_△ABD
∵AE=

3

4

AA₁，CF=

1

3

CC₁，∴

AE

CF

=

3 4

1 3

=

9

4

∵三棱錐E-BCD的體積V₁=

1

3

S_△BCD•AE，
三棱錐F-ABD的體積V₂=

1

3

S_△ABD•CF．
∴

VE-BCD

VF-ABD

=

V1

V2

=

1 3 S△BCD•AE

1 3 S△ACD•CF

=

S△BCD•AE

S△ACD•CF

•

AE

CF

=

2

3

•

9

4

=

3

2

．
故答案為：

3

2

點評：本題給出直棱棱柱上滿足條件的點，求兩個三棱錐的體積之比．著重考查了直棱柱的性質、三角形的面積比和錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．