Question

若關于x的不等式（m-3）x²-2mx-8＞0（m∈R）的解集是一個開區間D，定義開區間（a，b）的長度l=b-a．
（1）求開區間D的長度l（l用m表示），并寫出其定義域
（2）若l∈[1，2]，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設（m-3）x²-2mx-8=0的兩根為x₁，x₂，根據題意得△=4（m²+8m-24）＞0，利用職權根與系數的關系寫出兩根的和，積，最后利用l的長度公式即可求得開區間D的長度l，結合方程有根條件即可求得其定義域；
（2）結合（1）m的范圍及條件：“l∈[1，2]，”解關系m的不等關系式，即可得出m的取值范圍．
解答：解：（1）根據題意得m-3＜0，設（m-3）x²-2mx-8=0的兩根為x₁，x₂，
則△=4（m²+8m-24）＞0，
=
由，
∴函數定義域為
（2）
結合（1）m的范圍，m的取值范圍為
點評：本小題主要考查一元二次不等式的解法、根式不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．