Question

已知函數f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinx•cosx
（I）求函數f（x）的單調遞減區間；
（II）將函數f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后得到g（x）的圖象，求使函數g（x）為偶函數的m的最小值．

Answer 1

分析：先利用兩角和的正弦公式，二倍角公式將已知函數化為復合函數y=Asin（ωx+φ）的形式，（I）將內層函數ωx+φ看做整體，放到正弦函數的單調區間上，解不等式即可得此函數的單調區間；（II）先求出將函數f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后得到g（x）的圖象的解析式，要使函數g（x）為偶函數，即一條對稱軸為x=0，只需代入內層函數中，使內層函數的值為正弦曲線的對稱軸x=kπ+

π

2

即可，從而得m的表達式，求最小值即可

解答：解：f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinx•cosx
=2cosx（sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

）-

3

sin²x+sinx•cosx
=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx））-

3

sin²x+sinx•cosx
=2cosxsinx+

3

（cos²x-sin²x）
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）
（I）令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ
得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ  （k∈Z）
∴函數f（x）的單調遞減區間是[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，（k∈Z）
（II）將函數f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后得到函數的解析式為g（x）=2sin[2（x-m）+

π

3

]=2sin（2x-2m+

π

3

）
要使函數g（x）為偶函數，即x=0為其對稱軸
只需2×0-2m+

π

3

=kπ+

π

2

  （k∈Z）
即m=-

k

2

π-

π

12

（k∈Z），
∵m＞0
∴m的最小正值為

5π

12

，此時k=-1
∴m的最小正值為

5π

12

點評：本題考察了利用三角變換公式將三角函數式化為y=Asin（ωx+φ）的形式的技巧，三角函數的圖象和性質，y=Asin（ωx+φ）型函數的單調區間和對稱軸的求法和應用