Question

已知定義在R上的函數f（x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x²-x，且對任意的x滿足f（x-1）=Mf（x）（常數M≠0），則函數f（x）在區間[5，7]上的最大值是（　�。�

• A．A、2M⁴
• B．

  2

  M4

• C．2M⁶
• D．

  2

  M6

Answer 1

分析：由題設條件，可先根據對任意的x滿足f（x-1）=Mf（x）（常數M≠0）及當x∈[-1，1]時，f（x）=x²-x，解出函數f（x）在區間[5，7]上的解析式，再由所得的解析式根據二次函數的性質解出函數在區間[5，7]上的最大值即可選出正確選項

解答：解：由題意對任意的x滿足f（x-1）=Mf（x）（常數M≠0），
∴任取x∈[5，7]，則f（x）=

f(x-1)

M

=…=

f(x-6)

M 6

此時有x-6∈[-1，1]，又定義在R上的函數f（x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x²-x，
∴f（x）=

f(x-6)

M 6

=

(x-6) 2-(x-6)

M 6

=

x 2-13x+42

M 6

=

(x- 13 2 ) 2- 1 4

M 6

當x=5時，函數f（x）在區間[5，7]上取到最大值是

2

M6

故選D

點評：本題考查二次函數的最值及函數恒成立的關系，解題的關鍵是由題設條件解出要求最值的區間上的函數解析式，從而研究函數的最值，本題考查了轉化的思想及最值的求法，二次函數的最值常用配方法求最值．