Question

（滿(mǎn)分16分）

記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在，使成立，則稱(chēng)以為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)圖象上的不動(dòng)點(diǎn)。

（1）若函數(shù)的圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的不動(dòng)點(diǎn)，求應(yīng)滿(mǎn)足的條件；

（2）下述結(jié)論“若定義在Ｒ上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明，并舉出一例；若不正確，請(qǐng)舉出一反例說(shuō)明

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）證明略

【解析】

解：（1）由，  …………………………………………2分

整理得   ……………………………………4分

由題意知方程（*）有兩個(gè)互為相反數(shù)的根，所以即………6分

，，……………………………………………………8分

故應(yīng)滿(mǎn)足且……………………………………………………10分

（2）結(jié)論正確。……………………………………………………12分

證明：為奇函數(shù)，，取，得，

即（0,0）為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)函數(shù)除0以外還有不動(dòng)點(diǎn)，

則

又，故也為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。…………………14分

綜上，若定義在R上的奇函數(shù)圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)。

例如：。…………………………………………………16分