Question

（理科）（本小題滿分12分）如圖分別是正三棱臺ABC－A₁B₁C₁的直觀圖和正視圖，O，O₁分別是上下底面的中心，E是BC中點．

（1）求正三棱臺ABC－A₁B₁C₁的體積；

（2）求平面EA₁B₁與平面A₁B₁C₁的夾角的余弦；

（3）若P是棱A₁C₁上一點，求CP＋PB₁的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）；（3）最小值為。

【解析】

試題分析：（1）由題意,正三棱臺高為  ..2分

   ..4分

（2）設分別是上下底面的中心，是中點，是中點.以 為原點，過平行的線為軸建立空間直角坐標系. ，， ，，，，，

設平面的一個法向量，則即

取，取平面的一個法向

量，設所求角為

則   ..8分

（3）將梯形繞旋轉到,使其與成平角

，由余弦定理得

即的最小值為   ..13分

考點：本題主要考查立體幾何中的體積計算、角的計算。

點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟。利用向量則簡化了證明過程，對計算能力要求高。