Question

已知兩點A、B分別在直線y=x和y=-x上運動，且|AB|=

4 5

5

，動點P滿足2

OP

=

OA

+

OB

（O為坐標原點），點P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點作它的切線l，與橢圓

x2

4

+y2=1交于M、N兩點，求證：

OM

•

ON

為定值．

Answer 1

分析：（1）（方法一）設P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．由2

OP

=

OA

+

OB

，知P是線段AB的中點，由此能得到點P的軌跡C的方程．
（方法二）由2

OP

=

OA

+

OB

，知P為線段AB的中點，由M、N分別在直線y=x和y=-x上，知∠AOB=90°．由此能得到點P的軌跡C的方程．
（2）當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+m，由l與C相切，知

|m|

1+k2

=

2 5

5

，m2=

4

5

(1+k2)．聯立

y=kx+m x2+4y2=4

，故

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0 (1+4k2)y2-2my+m2-4k2=0

．由此能夠證明

OM

•

ON

為定值0．

解答：解：（1）（方法一）設P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．
∵2

OP

=

OA

+

OB

，∴P是線段AB的中點，∴

x= x1+x2 2 y= x1-x2 2 .

（2分）
∵|AB|=

4 5

5

，∴(x1-x2)2+(x1+x2)2=

16

5

，∴(2y)2+(2x)2=

16

5

．
∴化簡得點P的軌跡C的方程為x2+y2=

4

5

．（5分）
（方法二）∵2

OP

=

OA

+

OB

，∴P為線段AB的中點、（2分）
∵M、N分別在直線y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．
又|AB|=

4 5

5

，∴|OP|=

2 5

5

，∴點P在以原點為圓心，

2 5

5

為半徑的圓上、
∴點P的軌跡C的方程為x2+y2=

4

5

．（5分）
（2）證明：當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+m，
∵l與C相切，∴

|m|

1+k2

=

2 5

5

，∴m2=

4

5

(1+k2)．
聯立

y=kx+m x2+4y2=4

，∴

(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0 (1+4k2)y2-2my+m2-4k2=0

．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁•x₂=

4m2-4

1+4k2

，y1y2=

m2-4k2

1+4k2

．（8分）
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

5m2-4k2-4

1+4k2

．
又m2=

4

5

(1+k2)，∴

OM

•

ON

=0．（10分）
當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=±

2 5

5

，代入橢圓方程得
M（

2 5

5

，

2 5

5

），N（

2 5

5

，-

2 5

5

）或M（-

2 5

5

，

2 5

5

），N（-

2 5

5

，-

2 5

5

），
此時，

OM

•

ON

=

4

5

-

4

5

=0．
綜上所述，

OM

•

ON

為定值0．（12分）

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓、橢圓的相關知識．