Question

 

（Ⅰ）已知函數(shù)，。

（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（ii）證明：若對于任意非零實數(shù)，曲線C與其在點處的切線交于另一點

，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段

（Ⅱ）對于一般的三次函數(shù)（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明。

 

 

Answer 1

【答案】

 

【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想。

【解析】（Ⅰ）（i）由得=，

當(dāng)和時，；

當(dāng)時，，

因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。

（ii）曲線C與其在點處的切線方程為

得，

即，解得，進而有

，用代替，重復(fù)上述計算過程，可得

和，又，所以

因此有。

（Ⅱ）記函數(shù)的圖象為曲線，類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題為：若對任意不等式的實數(shù)，曲線與其在點處的切線交于另一點

，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段

證明如下：

因為平移變換不改變面積的大小，故可將曲線的對稱中心平移至坐標(biāo)原點，因而不妨設(shè)，類似（i）（ii）的計算可得

，故。