Question

（重點中學學生做）對于曲線x²+xy+y²=1有以下判斷：（1）它表示圓；（2）它關于兩坐標軸對稱；（3）它關于原點對稱；（4）|x|≤1，|y|≤1．其中正確的有

（3）

（填上相應的序號即可）．

Answer 1

分析：根據旋轉變換知，曲線x²+xy+y²=1經過圍繞坐標原點順時針旋轉45度即可得到一個橢圓，如圖，結合其圖形，從而解決問題．

解答：解：曲線x²+xy+y²=1經過圍繞坐標原點順時針旋轉45度即可得到一個焦點在y軸的橢圓，如圖，結合其圖形及方程，得：
在原方程中，同時將 x 換成-x，且將 y 換成-y，方程不變，就說明曲線關于原點對稱．
在原方程中，將 x 換成-x，方程有改變，因此曲線關于y軸不對稱，
同理，將 y 換成-y，方程也有改變，因此曲線關于x軸不對稱．
由圖可得存在x，y，使得：|x|＞1，|y|＞1．
故答案為：（3）．

點評：本小題主要考查函數的圖象、二元二次方程表示圓的條件、曲線的對稱性等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想．屬于基礎題．