Question

（本小題滿分12分）已知橢圓，離心率為的橢圓經過點.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的一個焦點且互相垂直的直線分別與橢圓交于和，是否存在常數，使得？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）（2）存在實數，使得.理由見解析

解析試題分析：（1）由題可知，即，
由此得，故橢圓方程是，
將點的坐標代入，得，解得，
故橢圓方程是.                                                ……4分
（2）問題等價于，即是否是定值問題.
橢圓的焦點坐標是，不妨取焦點，
當直線的斜率存在且不等于零時，
設直線的斜率為，則直線的方程是，
代入橢圓方程并整理得 
設，則.                  ……6分
根據弦長公式，
 =
==                                      ……8分
以代換，得                      ……9分
所以 
即                                        ……10分
當直線的斜率不存在或等于零時，
一個是橢圓的長軸長，一個是通徑長度，
此時，即.
綜上所述，故存在實數，使得.        ……12分
考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求解和直線與橢圓的位置關系以及弦長公式的應用，考查學生的轉化能力和運算能力.
點評：圓錐曲線問題一般難度較大，要仔細分析，仔細運算，另外設直線方程時，要考慮到直線的斜率是否存在.