Question

設函數有兩個極值點,且.
(1)求實數的取值范圍；
(2)討論函數的單調性；
(3)若對任意的,都有成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

(1)
(2) ①當時,,即在區間上單調遞增；
②當時,,即在區間上單調遞減；
③當時,,即在區間上單調遞增
(3)

試題分析：解:(1)由可得.
令,則其對稱軸為,故由題意可知是方程的兩個均大于的不相等的實數根,其充要條件為,解得. 5分
(2)由(1)可知,其中,故
①當時,,即在區間上單調遞增；
②當時,,即在區間上單調遞減；
③當時,,即在區間上單調遞增. 9分
(3)由(2)可知在區間上的最小值為.
又由于,因此.又由可得,從而.
設,其中,
則.
由知:,,故,故在上單調遞增.
所以,.
所以,實數的取值范圍為. 14分
(事實上,當時,,此時.即,“”是其充要條件.)
點評：解決的關鍵是對于導數的符號與函數單調性的關系的判定，以及運用導數的知識來求解最值，屬于中檔題。