Question

設p：f（x）=e^x+lnx+2x²+mx+1在（0，+∞）內單調遞增，q：m≥-5，則p是q的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：首先求出函數的導數，然后根據導數與函數單調性的關系求出m的范圍．

解答：解：由題意得f′（x）=e^x+

1

x

+4x+m，
∵f（x）=e^x+lnx+2x²+mx+1在（0，+∞）內單調遞增，
∴f′（x）≥0，即e^x+

1

x

+4x+m≥0在定義域內恒成立，
由于

1

x

+4x≥4，當且僅當

1

x

=4x，即x=

1

2

時等號成立，故對任意的x∈（0，+∞），必有e^x+

1

x

+4x＞5
∴m≥-e^x-

1

x

-4x不能得出m≥-5
但當m≥-5時，必有e^x+

1

x

+4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分條件，p是q的必要條件，即p是q的必要不充分條件
故選B．

點評：本題考查函數導數與單調性的關系．屬于函數恒成立問題，難度較大，綜合性強，尤其是充分條件的證明是本題的難點，本題易因為判斷不出最值而導致無法下手，本解答通過給出e^x+

1

x

+4x＞5這一條件避免了利用導數求最值，從而達到判斷兩個命題之間關系的目的．做題時要注意掌握此類變通的技巧．