Question

已知數列的前n項和與通項滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求；
（3）若，求的前n項和.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）條件中是前項和與第項之間的關系，考慮到當時，，因此可得，又由，從而可以證明數列是以為首項，為公比的等比數列，∴通項公式；（2）由（1）結合，可得，
從而，因此考慮采用裂項相消法求的前項和，即有；（3）由（2）及，可得，因此可看作是一個等比數列與一個等差數列的積，可以考慮采用錯位相減法求其前項和，即有①，
②，
①-②：，
從而.
（1）在中，令，可得..............2分
當時，，
∴數列是以為首項，為公比的等比數列，∴；      4分
由（1）及，∴，
∴，故，..............6分
又∵，......   9分
∴                                 10分
（3）由（2）及，∴，           12分
∴①，
①可得：②，
①-②：，
∴，                16分