Question

設關于x的一元二次方程ax²+bx+1=0
（Ⅰ）設a和b分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，求上述方程沒有實根的概率；
（Ⅱ）若a是從區間（0，3）內任取的一個數，b=2，求上述方程沒有實根的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的所有事件根據分步計數原理知是36，滿足條件的事件：方程無實根，則△=b²-4a＜0即b²＜4a，通過列舉法得到所包含的基本事件個數，利用古典概型的概率公式求出值；
（Ⅱ）全部結果所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，b=2}，其長度d=3，又構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，b=2，b²＜4a}，其長度為d′=2，由此能求出方程有實根的概率

解答：解：（1）基本事件總數為：6×6=36
若方程無實根，則△=b²-4a＜0即b²＜4a
若a=1，則b=1，
若a=2，則b=1，2
若a=3，則b=1，2，3
若a=4，則b=1，2，3
若a=5，則b=1，2，3，4
若a=6，則b=1，2，3，4
∴目標事件個數為1+2+3+3+4+4=17
因此方程ax²+bx+1=0沒有實根的概率為

17

36

；
（2）全部結果所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，b=2}，其長度d=3，
又構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，b=2，b²＜4a}={（a，b）|1＜a≤3，b=2}，其長度為d′=2，
所以P(A)=

2

3

．

點評：本題考查古典概率及其運算公式以及幾何概型，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．